2021上海高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：裂項相消萬能公式

　　裂項法，這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。是將數(shù)列中的每項(通項)分解，然后重新組合，使之能消去一些項，較終達(dá)到求和的目的。 通項分解(裂項)倍數(shù)的關(guān)系。通常用于代數(shù)，分?jǐn)?shù)，有時候也用于整數(shù)。

　　1、裂項相消的公式

　　1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

　　1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

　　1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

　　1/(√daoa+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

　　n·n!=(n+1)!-n!

　　2、裂項法求和

　　(1)1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)]

　　(2)1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

　　(3)1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}

　　(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

　　(5) n·n!=(n+1)!-n!

　　(6)1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]

　　(7)1/[√n+√(n+1)]=√(n+1)-√n

　　(8)1/(√n+√n+k)=(1/k)·[√(n+k)-√n]

　　3、數(shù)列求和的常用方法

　　1、分組法求數(shù)列的和：如an=2n+3n

　　2、錯位相減法求和：如an=n·2^n

　　3、裂項法求和：如an=1/n(n+1)

　　4、倒序相加法求和：如an= n

　　5、求數(shù)列的較大、較小項的方法：

　�、� an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

　�、� (an>0) 如an=

　　③ an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的增減性 如an= an^2+bn+c(a≠0)

　　6、在等差數(shù)列 中,有關(guān)Sn 的較值問題——常用鄰項變號法求解：

　　(1)當(dāng) a1>0,d<0時，滿足{an}的項數(shù)m使得Sm取較大值.

　　(2)當(dāng) a1<0,d>0時，滿足{an}的項數(shù)m使得Sm取較小值.

　　7、對于1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同樣適用。