滬教版小學六年級數學上冊素數、合數與分解素因數知識點(3)

　　解：記5的約數個數為Y1，

　　32×5的約數個數為Y2，

　　360(=23×32×5)的約數個數為Y3.由上面的分析可知：

　　Y3=4×Y2，Y2=3×Y1，

　　顯然Y1=2(5只有1和5兩個約數)。

　　因此Y3=4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。

　　所以360共有24個約數。

　　說明：Y3=4×Y2中的“4”即為“1、2、22、23”中數的個數，也就是其中2的較大指數加1，也就是360=23×32×5中質因數2的個數加1;Y2=3×Y1中的“3”即為“1、3、32”中數的個數，也就是23×32×5中質因數3的個數加1;而Y1=2中的“2”即為“1、5”中數的個數，即23×32×5中質因數5的個數加1.因此

　　Y3=(3+1)×(2+1)×(1+1)=24。

　　對于任何一個合數，用類似于對23×32×5(=360)的約數個數的討論方式，我們可以得到一個關于求一個合數的約數個數的重要結論：

　　一個合數的約數個數，等于它的質因數分解式中每個質因數的個數(即指數)加1的連乘的積。

　　例10 求240的約數的個數。

　　解：∵240=24×31×51，

　　∴240的約數的個數是

　　(4+1)×(1+1)×(1+1)=20，

　　∴240有20個約數。

　　請你列舉一下240的所有約數，再數一數，看一看是否是20個?

　　題目：

　　1.邊長為自然數，面積為105的形狀不同的長方形共有多少種?

　　2.11112222個棋子排成一個長方陣.每一橫行的棋子數比每一豎列的棋子數多1個.這個長方陣每一橫行有多少個棋子?

　　3.五個相鄰自然數的乘積是55440，求這五個自然數。

　　4.自然數a乘以338，恰好是自然數b的平方.求a的較小值以及b。

　　5.求10500的約數共有多少個?

　　題目答案：

　　1.∵105=3×5×7，

　　105=1×105=3×35=5×21=7×15，

　　∴共有4種。

　　2.分析

　　每一橫行棋子數比每一豎列棋子數多1個。

　　橫行數與豎列數應是兩個相鄰的自然數.

　　解：11112222=3333×3334

　　答案為3334。

　　3.7、8、9、10、11。

　　4.分析

　　∵自然數a乘以338，恰好是自然數b的平方，

　　∴a與338的積分解質因數以后，每個質因數的個數之和都是偶數。

　　解：∵338=2×13×13，

　　∴a=2，b=2×13=26。

　　5.解：∵10500=22×3×53×7，

　　又∵(2+1)×(1+1)×(3+1)×(1+1)=48。

　　∴10500的約數共有48個。

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