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泰勒公式！數(shù)學中，泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)足夠平滑的話，在已知函數(shù)在某一點的各階導數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個多項式來近似函數(shù)在這一點的鄰域中的值。下面為大家分享泰勒公式!希望能幫到大家！
泰勒公式
公式描述：泰勒公式可以用若干項連加式來表示一個函數(shù)，這些相加的項由函數(shù)在某一點的導數(shù)求得。
驗證推導
公式推導我們知道，根據(jù)拉格朗日中值定理導出的有限增量定理有：
于是：
其中誤差α是在Δx→0即x→x0的前提下才趨向于0，所以在近似中往往不夠準確。于是我們需要一個能夠足夠準確的且能估計出誤差的多項式：
來近似地表示函數(shù)f(x)且要寫出其誤差f(x)-P(x)的具體表達式。設(shè)函數(shù)P(x)滿足 ：
于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An，顯然有：
，所以
;
，所以
;
，所以
;
，所以
;至此，多項的各項系數(shù)都已求出，得：
以上就是函數(shù)
的泰勒展開式。接下來就要求誤差的具體表達式了。設(shè)
，令
得到：
進而：
根據(jù)柯西中值定理：
其中θ1在x和x0之間;繼續(xù)使用柯西中值定理得到：
其中θ2在θ1和x0之間;連續(xù)使用n+1次后得到：
其中θ在x和x0之間;同時：
而：
進而：
綜上可得：
一般來說展開函數(shù)時都是為了的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把Rn(x)寫為Rn。 [1]
麥克勞林展開函數(shù)的麥克勞林展開指上面泰勒公式中x0取0的情況，即是泰勒公式的特殊形式，若f(x)在x=0處n階連續(xù)可導，則下式成立：
其中
表示f(x)的n階導數(shù)。當
，其中δ在0與x之間時，公式稱為拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式;當
時公式稱為帶佩亞諾型余項的n階麥克勞林公式。 [1]
近似表達正弦函數(shù)
θ的性質(zhì)編輯n階泰勒公式中的余項寫成如下形式的拉格朗日余項：
那么其中的θ的有一個重要性質(zhì)：當
在
點連續(xù)，且
，則
。證明 因為(1)
，
。(2)
，
。(3)
，
。[(1)-(2)](n+1)!/[(△x)^(n+1)]得：(4)
。(3)/(4)得
由于
在
點連續(xù)，且
，所以
。 [1]
公式應(yīng)用
實際應(yīng)用中，泰勒公式需要截斷，只取有限項，一個函數(shù)的有限項的泰勒級數(shù)叫做泰勒展開式。泰勒公式的余項可以用于估算這種近似的誤差。泰勒展開式的重要性體現(xiàn)在以下五個方面：
冪級數(shù)的求導和積分可以逐項進行，因此求和函數(shù)相對比較容易。
一個解析函數(shù)可被延伸為一個定義在復平面上的一個開片上的解析函數(shù)，并使得復分析這種手法可行。
泰勒級數(shù)可以用來近似函數(shù)的值，并估計誤差。
證明不等式。
求待定式的極限。 [1]
實例例1、展開三角函數(shù)y=sinx和y=cosx。解：根據(jù)導數(shù)表得：
顯然y=sinx在x=0處具有任意階導數(shù)，并且
。根據(jù)麥克勞林公式：
類似地，可以展開y=cosx。例2、當
時，證明
。證明 ：函數(shù)
在
點處的二階泰勒公式為
在
時，顯然成立
，即
。例3、求極限
。解： 利用(1)
;(2)
;(3)
;(4)
;可得
。例4、近似值
，并估計誤差。解：對指數(shù)函數(shù)
運用麥克勞林展開式并舍棄余項：
當x=1時：
取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。誤差為
例5、歐拉公式：
(其中
，即一個虛數(shù)單位)證明：由于在實數(shù)范圍以內(nèi)，
將該式子擴展到復數(shù)系內(nèi)以定義指數(shù)函數(shù)，得到
特別地，當上式z=ib時，有
把上面的b換成x，就得到了歐拉公式。由歐拉公式，對任意一個復數(shù)z=a+ib，有
即復數(shù)z的指數(shù)函數(shù)依然是一個復數(shù)，這個復數(shù)的模r=ea，幅角θ=b。若b=0，則ez=ea(cos0+isin0)=ea(1+0)=ea，與實變函數(shù)f(x)=ex在x=a時的函數(shù)值相同。
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