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泰勒公式！數學中，泰勒公式是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數足夠平滑的話，在已知函數在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做系數構建一個多項式來近似函數在這一點的鄰域中的值。下面為大家分享泰勒公式!希望能幫到大家！
泰勒公式
公式描述：泰勒公式可以用若干項連加式來表示一個函數，這些相加的項由函數在某一點的導數求得。
驗證推導
公式推導我們知道，根據拉格朗日中值定理導出的有限增量定理有：
于是：
其中誤差α是在Δx→0即x→x0的前提下才趨向于0，所以在近似中往往不夠準確。于是我們需要一個能夠足夠準確的且能估計出誤差的多項式：
來近似地表示函數f(x)且要寫出其誤差f(x)-P(x)的具體表達式。設函數P(x)滿足 ：
于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An，顯然有：
，所以
;
，所以
;
，所以
;
，所以
;至此，多項的各項系數都已求出，得：
以上就是函數
的泰勒展開式。接下來就要求誤差的具體表達式了。設
，令
得到：
進而：
根據柯西中值定理：
其中θ1在x和x0之間;繼續(xù)使用柯西中值定理得到：
其中θ2在θ1和x0之間;連續(xù)使用n+1次后得到：
其中θ在x和x0之間;同時：
而：
進而：
綜上可得：
一般來說展開函數時都是為了的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把Rn(x)寫為Rn。 [1]
麥克勞林展開函數的麥克勞林展開指上面泰勒公式中x0取0的情況，即是泰勒公式的特殊形式，若f(x)在x=0處n階連續(xù)可導，則下式成立：
其中
表示f(x)的n階導數。當
，其中δ在0與x之間時，公式稱為拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式;當
時公式稱為帶佩亞諾型余項的n階麥克勞林公式。 [1]
近似表達正弦函數
θ的性質編輯n階泰勒公式中的余項寫成如下形式的拉格朗日余項：
那么其中的θ的有一個重要性質：當
在
點連續(xù)，且
，則
。證明 因為(1)
，
。(2)
，
。(3)
，
。[(1)-(2)](n+1)!/[(△x)^(n+1)]得：(4)
。(3)/(4)得
由于
在
點連續(xù)，且
，所以
。 [1]
公式應用
實際應用中，泰勒公式需要截斷，只取有限項，一個函數的有限項的泰勒級數叫做泰勒展開式。泰勒公式的余項可以用于估算這種近似的誤差。泰勒展開式的重要性體現在以下五個方面：
冪級數的求導和積分可以逐項進行，因此求和函數相對比較容易。
一個解析函數可被延伸為一個定義在復平面上的一個開片上的解析函數，并使得復分析這種手法可行。
泰勒級數可以用來近似函數的值，并估計誤差。
證明不等式。
求待定式的極限。 [1]
實例例1、展開三角函數y=sinx和y=cosx。解：根據導數表得：
顯然y=sinx在x=0處具有任意階導數，并且
。根據麥克勞林公式：
類似地，可以展開y=cosx。例2、當
時，證明
。證明 ：函數
在
點處的二階泰勒公式為
在
時，顯然成立
，即
。例3、求極限
。解： 利用(1)
;(2)
;(3)
;(4)
;可得
。例4、近似值
，并估計誤差。解：對指數函數
運用麥克勞林展開式并舍棄余項：
當x=1時：
取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。誤差為
例5、歐拉公式：
(其中
，即一個虛數單位)證明：由于在實數范圍以內，
將該式子擴展到復數系內以定義指數函數，得到
特別地，當上式z=ib時，有
把上面的b換成x，就得到了歐拉公式。由歐拉公式，對任意一個復數z=a+ib，有
即復數z的指數函數依然是一個復數，這個復數的模r=ea，幅角θ=b。若b=0，則ez=ea(cos0+isin0)=ea(1+0)=ea，與實變函數f(x)=ex在x=a時的函數值相同。
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