對(duì)小學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)發(fā)車(chē)問(wèn)題的化歸與優(yōu)化

　　“發(fā)車(chē)”是一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。解決“發(fā)車(chē)問(wèn)題”需要一定的策略和技巧。本文重點(diǎn)解決這樣兩個(gè)問(wèn)題：一是在探索過(guò)程中，如何揭示“發(fā)車(chē)問(wèn)題”的實(shí)質(zhì)?二是在建模的過(guò)程中，如何選擇較簡(jiǎn)明、較嚴(yán)謹(jǐn)和較易于孩子理解并接受的方法或情景?

　　為便于敘述，現(xiàn)將“發(fā)車(chē)問(wèn)題”進(jìn)行一般化處理：某人以勻速行走在一條公交車(chē)線路上，線路的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站均每隔相等的時(shí)間發(fā)一次車(chē)。他發(fā)現(xiàn)從背后每隔a分鐘駛過(guò)一輛公交車(chē)，而從迎面每隔b分鐘就有一輛公交車(chē)駛來(lái)。問(wèn)：公交車(chē)站每隔多少時(shí)間發(fā)一輛車(chē)?(假如公交車(chē)的速度不變，而且中間站停車(chē)的時(shí)間也忽略不計(jì)。)

　　一、把“發(fā)車(chē)問(wèn)題”化歸為“和差問(wèn)題”

　　因?yàn)檐?chē)站每隔相等的時(shí)間發(fā)一次車(chē)，所以同向的、前后的兩輛公交車(chē)間的距離相等。這個(gè)相等的距離也是公交車(chē)在發(fā)車(chē)間隔時(shí)間內(nèi)行駛的路程。我們把這個(gè)相等的距離假設(shè)為“1”。

　　根據(jù)“同向追及”，我們知道：公交車(chē)與行人a分鐘所走的路程差是1，即公交車(chē)比行人每分鐘多走1/a，1/a就是公交車(chē)與行人的速度差。

　　根據(jù)“相向相遇”，我們知道：公交車(chē)與行人b分鐘所走的路程和是1，即公交車(chē)與行人每分鐘一共走1/b，1/b就是公交車(chē)和行人的速度和。

　　這樣，我們把“發(fā)車(chē)問(wèn)題”化歸成了“和差問(wèn)題”。根據(jù)“和差問(wèn)題”的解法：大數(shù)=(和+差)÷2，小數(shù)=(和-差)÷2，可以很容易地求出公交車(chē)的速度是(1/a+1/b)÷2。又因?yàn)楣�交�?chē)在這個(gè)“間隔相等的時(shí)間”內(nèi)行駛的路程是1，所以再用“路程÷速度=時(shí)間”，我們可以求出問(wèn)題的答案，即公交車(chē)站發(fā)車(chē)的間隔時(shí)間是1÷【(1/a+1/b)÷2】=2÷(1/a+1/b)。

　　二、把“發(fā)車(chē)問(wèn)題”優(yōu)化為“往返問(wèn)題”

　　如果這個(gè)行人在起點(diǎn)站停留m分鐘，恰好發(fā)現(xiàn)車(chē)站發(fā)n輛車(chē)，那么我們就可以求出車(chē)站發(fā)車(chē)的間隔時(shí)間是m÷n分鐘。但是，如果行人在這段時(shí)間內(nèi)做個(gè)“往返運(yùn)動(dòng)”也未嘗不可，那么他的“往返”決不會(huì)影響答案的準(zhǔn)確性。

　　因?yàn)閺钠瘘c(diǎn)站走到終點(diǎn)站，行人用的時(shí)間不一定被a和b都整除，所以他見(jiàn)到的公交車(chē)輛數(shù)也不一定是整數(shù)。故此，我們不讓他從起點(diǎn)站走到終點(diǎn)站再返回。那么讓他走到哪再立即返回呢?或者說(shuō)讓他走多長(zhǎng)時(shí)間再立即返回呢?

　　取a和b的公倍數(shù)(如果是具體的數(shù)據(jù)，較好取較小公倍數(shù))，我們這里取ab。假如剛剛有一輛公交車(chē)在起點(diǎn)站發(fā)出，我們讓行人從起點(diǎn)站開(kāi)始行走，先走ab分鐘，然后馬上返回;這時(shí)恰好是從行人背后駛過(guò)第b輛車(chē)。當(dāng)行人再用ab分鐘回到起點(diǎn)站時(shí)，恰好又是從迎面駛來(lái)第a輛車(chē)。也就是說(shuō)行人返回起點(diǎn)站時(shí)第(a+b)輛公交車(chē)正好從車(chē)站開(kāi)出，即起點(diǎn)站2ab分鐘開(kāi)出了(a+b)輛公交車(chē)。

　　這樣，就相當(dāng)于在2ab分鐘的時(shí)間內(nèi)，行人在起點(diǎn)站原地不動(dòng)看見(jiàn)車(chē)站發(fā)出了(a+b)輛車(chē)。于是我們求出車(chē)站發(fā)車(chē)的間隔時(shí)間也是2ab÷(a+b)=2÷(1/a+1/b)。

　　這樣的往返假設(shè)也許更符合“發(fā)車(chē)問(wèn)題”的情景，更簡(jiǎn)明、更嚴(yán)謹(jǐn)，也更易于孩子理解和接受。如果用具體的時(shí)間代入，則會(huì)更加形象，更便于說(shuō)明問(wèn)題。

　　三、請(qǐng)用上述兩種方法，試一試，解答下面兩題：

　　1、小紅在環(huán)形公路上行走，每隔6分鐘就可以看見(jiàn)一輛公共汽車(chē)迎面開(kāi)來(lái)，每隔9分鐘就有一輛公共汽車(chē)從背后超過(guò)她。如果小紅步行的速度和公共汽車(chē)的速度各自都保持一定，而汽車(chē)站每隔相等的時(shí)間向相反的方向各發(fā)一輛公共汽車(chē)，那么汽車(chē)站發(fā)車(chē)的間隔時(shí)間是多少?

　　2、小明從東城到西城去，一共用了24分鐘。兩城之間同時(shí)并且每隔相等的時(shí)間對(duì)發(fā)一輛公共汽車(chē)。他出發(fā)時(shí)恰好有一輛公共汽車(chē)從東城發(fā)出，之后他每隔4分鐘看見(jiàn)一輛公共汽車(chē)迎面開(kāi)來(lái)，每隔6分鐘有一輛公共汽車(chē)從背后超過(guò)。問(wèn)小明從東城出發(fā)與到達(dá)西城這段時(shí)間內(nèi)，一共有多少輛公共汽車(chē)從東城發(fā)出?

　　四、下面三題也是發(fā)車(chē)問(wèn)題，試一試，揭示問(wèn)題實(shí)質(zhì)。

　　3、從電車(chē)總站每隔一定時(shí)間開(kāi)出一輛電車(chē)。甲和乙兩人在一條街上沿著同一方向步行，甲每分鐘步行82千米，每隔10分鐘遇上一輛迎面而來(lái)的電車(chē);乙每分鐘步行60米，每隔10分15秒遇上迎面開(kāi)來(lái)的一輛電車(chē)。電車(chē)總站每隔__分鐘開(kāi)出一輛電車(chē)。

　　[題說(shuō)] 1997年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽A卷第12題

　　答案：11(分鐘)

　　4、有一路電車(chē)的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站。每隔5分鐘有一輛電車(chē)從甲站出發(fā)開(kāi)往乙站。全程要走15分鐘。有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿電車(chē)路線騎車(chē)前往甲站。他出發(fā)的時(shí)候，恰好有一輛電車(chē)到達(dá)乙站。在路上他又遇到了10輛迎面開(kāi)來(lái)的電車(chē)，才到達(dá)甲站。這時(shí)候，恰好又有一輛電車(chē)從甲站開(kāi)出。問(wèn)他從乙站到甲站用了多少分鐘?

　　[題說(shuō)] 先進(jìn)屆“華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽”初賽第16題

　　答案：40(分鐘)

　　5、一條雙向鐵路上有11個(gè)車(chē)站。相鄰兩站都相距7公里。從早晨7點(diǎn)開(kāi)始，有18列貨車(chē)由第十一站順次發(fā)出，每隔5分鐘發(fā)出一列，都駛向先進(jìn)站，速度都是每小時(shí)60公里。早晨8點(diǎn)，由先進(jìn)站發(fā)出一列客車(chē)，向第十一站駛?cè)�，時(shí)速是100公里，在到達(dá)終點(diǎn)站前，貨車(chē)與客車(chē)都不�？咳魏我徽荆瑔�(wèn)：在哪兩個(gè)相鄰站之間，客車(chē)能與3列貨車(chē)先后相遇?

　　[題說(shuō)] 第三屆“華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽”決賽二試第6題

　　答案：在第5個(gè)站與第6個(gè)站之間，客車(chē)與三列貨車(chē)相遇。